Оптимальное управление подключением резервного прибора в системе массового обслуживания $G/M/1$

Рассматривается задача оптимизации режима подключения и отключения резервного прибора в системе массового обслуживания (СМО) $G/M/1$ в зависимости от длины очереди заявок на обслуживание. В качестве целевой функции используется суммарный предельный средний доход системы в единицу времени, рассчитываемый как разность платы за обслуживание заявок и суммарных потерь за задержку заявки в очереди и амортизацию резервного прибора. Рассмотрена также аналогичная задача для СМО $G/M/1/r$ с целевой функцией, учитывающей дополнительные потери дохода из-за отклонения заявок. Доказано свойство унимодальности функции дохода систем $G/M/1/r$ и $G/M/1$ и сформулированы необходимые и достаточные условия существования конечного оптимального порога длины очереди, который служит критерием при подключении и отключении резервного прибора. Предложен простой алгоритм оптимального управления порогом, требующий только наблюдения за величиной дохода системы.