О потере $L$-устойчивости неявного метода Эйлера для одной линейной задачи

Ряд важных прикладных задач из химической кинетики, биофизики, теории электрических схем описываются системами жестких обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Одним из подходов для их численного решения являются одношаговые методы Рунге–Кутта. Для задач небольшой размерности применяют неявные методы Рунге–Кутта. Среди таких алгоритмов выделяют так называемые $A$- и $L$-устойчивые. Как правило, $L$-устойчивые гораздо лучше справляются с данными задачами. А именно, при реализации $L$-устойчивых методов шаг интегрирования можно выбрать значительно большим, чем при реализации $A$-устойчивых методов. Самым простым и хорошо себя зарекомендовавшим из данных алгоритмов является неявный метод Эйлера.
В данной статье приведен пример линейной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, выбирая которые можно получить сколь угодно жесткую задачу. Показано, что при определенном выборе этих параметров неявная схема Эйлера оказывается неэффективной. Данный алгоритм будет устойчив только при существенном ограничении на шаг интегрирования. Построение данного примера основано на некоторых фактах из теории численного решения дифференциально-алгебраических уравнений высокого индекса. Приведены детальные выкладки.