Групповой выбор с использованием матричных норм

В статье рассмотрен подход к построению методов группового выбора и ранжирования объектов в порядке предпочтения на основе минимизации отклонения матрицы, характеризующей объекты (оценочной матрицы), от некоторой одноранговой матрицы, все столбцы которой одинаковы (матрицы непротиворечивого ранжирования). Для оценки отклонения предложено использовать матричные нормы: поэлементная норма, $p-q$ норма, норма Шаттена на разнице оценочной и одноранговой матриц, разнице их ковариационных матриц, а также на других формах. Доказано, что ранжирование, полученное в результате минимизации разницы оценочной матрицы из рангов и матрицы непротиворечивого ранжирования по матричной норме Фробениуса, совпадает с ранжированием, полученным по оценочной матрице из рангов по правилу Борда. Рассмотрена связь матрицы непротиворечивого ранжирования, полученной по матричной норме Фробениуса, с одноранговой матрицей в сингулярном разложении оценочной матрицы, а также связанных с ними результатов метода ранжирования по влиянию. Для поэлементной матричной нормы доказано, что при достаточно большом показателе степени матричной нормы множество ранжирований, доставляющих минимум этой матричной нормы от разности оценочной матрицы и матрицы непротиворечивого ранжирования, становится устойчивым — не меняется при последующем увеличении степени (результаты такого ранжирования названы сбалансированным ранжированием). На примерах показано, что сбалансированное ранжирование доставляет минимум потерь при нелинейном росте штрафов от несовпадения ранжирования с реализованным в действительности ранжированием.