О неприводимых коврах аддитивных подгрупп типа $G_2$

В статье рассматриваются подгруппы групп Шевалле, определяемые коврами — наборами аддитивных подгрупп основного кольца определения. Такие подгруппы называются ковровыми и они порождаются корневыми элементами с коэффициентами из соответствующих аддитивных подгрупп. По определению ковер замкнутый, если определяемая им ковровая подгруппа не содержит новых корневых элементов. Одним из принципиально важных вопросов при изучении ковровых подгрупп является вопрос о замкнутости исходного ковра. Известно, что этот вопрос редуцируется к неприводимым коврам, т. е. к коврам, все аддитивные подгруппы которых ненулевые [8; 11].
В данной работе описываются неприводимые ковры типа $G_2$ над полем $K$ характеристики $p>0$, все аддитивные подгруппы которых являются $R$-модулями, в том случае, когда $K$ — алгебраическое расширение поля $R$. Доказано, что такие ковры являются замкнутыми и могут параметризоваться двумя различными полями только при $p=3$, а для других $p$ они определяются одним полем и в этом случае соответствующие им ковровые подгруппы с точностью до сопряжения диагональным элементом совпадают с группами Шевалле типа $G_2$ над промежуточными подполями $P$, $R \subseteq P \subseteq K$.