On exact multidimensional solutions of a nonlinear system of first order partial differential equations

В статье изучается система двух нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. Правые части системы уравнений содержат квадраты градиентов искомых функций. Такого рода уравнения, близкие к уравнению Гамильтона–Якоби, встречаются в задачах механики и теории управления. В статье предлагается искать решение в виде анзаца, содержащего квадратичную зависимость от пространственных переменных и произвольные функции от времени. Использование предложенного анзаца позволяет декомпозировать процесс отыскания компонент решения зависящих от пространственных переменных и от времени. Для отыскания зависимости от пространственных переменных необходимо решать алгебраическую систему матричных, векторных и скалярного уравнения. Найдено общее решение этой системы уравнений в параметрическом виде. Для отыскания компонент решения исходной системы, зависящих от времени, возникает система нелинейных дифференциальных уравнений. Установлено существование точных решений определенного вида у исходной системы. Приводится ряд примеров построенных точных решений, в том числе периодические по времени и анизотропные по пространственным переменным. Проведен анализ пространственной структуры решений, установлено, что она зависит от ранга матрицы квадратичной формы, входящей в решение.