О равенстве нулю группы $\mathrm{Hom}(-,\,C)$

Хорошо известно, что множество гомоморфизмов из фиксированной абелевой группы $A$ в фиксированную абелеву группу $B$ образует абелеву группу по сложению, обозначаемую через $\mathrm{Hom}(A,\,B).$ Группы гомоморфизмов абелевых групп обладают многими замечательными свойствами. Так, например, они ведут себя как функторы в категории абелевых групп. В некоторых важных случаях можно выразить инварианты группы $\mathrm{Hom}(A,\,B)$ через инварианты групп $A$ и $B.$ Например, если $A$ — периодическая или если $B$ — алгебраически компактная абелевы группы. Если $A=B,$ то группа $\mathrm{Hom}(A,\,B)=\mathrm{End}(A,\,B)$ называется группой эндоморфизмов группы $A,$ которую можно превратить в кольцо, обозначаемое $\mathrm{E}(A).$ Изучение групп гомоморфизмов и колец эндоморфизмов является важной задачей теории абелевых групп. В частности, описание абелевых групп таких, что $\mathrm{Hom}(A,\,B)=0$ является одной из открытых проблем в теории абелевых групп. Группа $\mathrm{Hom}(A,\,B)=0$ в следующем, например, случае. Пусть абелева группа $G$ разлагается в прямую сумму своих подгрупп $A$ и $B,$ причём $A$ — вполне характеристическая подгруппа в группе $G,$ т. е. $A$ отображается в себя при любом эндоморфизме группы $G.$ Тогда $\mathrm{Hom}(A,\,B)=0.$ Вполне характеристической подгруппой является, например, её периодическая часть. В статье рассматривается условие, эквивалентное равенству нулю группы гомоморфизмов произвольной группы в группу без кручения.