Kinds of pregeometries of cubic theories

Описание видов геометрий является одной из основных задач при структурной классификации алгебраических систем. Помимо известных классических геометрий глубокое исследование основных видов предгеометрий и геометрий проводилось для классов сильно минимальных и $\omega$-стабильных структур. К этим исследованиям необходимо отнести прежде всего работы Б. И. Зильбера и Г. Черлина, Л. Харрингтона, А. Лахлана 1980-х гг. В начале 1980-х гг. Б. И. Зильбером была выдвинута известная гипотеза о том, что предгеометрии сильно минимальных теорий исчерпываются случаями тривиальных, аффинных и проективных предгеометрий. Эта гипотеза была опровергнута Э. Хрушовским, который предложил оригинальную конструкцию сильно минимальной структуры, не являющейся локально модулярной и для которой невозможно проинтерпретировать бесконечную группу. Исследование видов предгеометрий продолжает привлекать внимание специалистов по современной теории моделей, включая описание геометрий различных естественных объектов, в частности, матроидов Вамоса.
В настоящей работе дается классификация предгеометрий для кубических теорий с алгебраическим оператором замыкания. Устанавливается, что для предгеометрий $\langle S,\mathrm{acl}\rangle$ в кубических теориях выполняется свойство замены тогда и только тогда, когда модели теории не содержат бесконечных кубов, в частности, когда нет конечных кубов неограниченной размерности. В силу этого свойства мы вводим новые понятия $c$-размерности, $c$-предгеометрий, $c$-тривиальности, $c$-модулярности, $c$-проективности и $c$-локально конечности. Кроме того, доказываем теорему о дихотомии для типов $c$-предгеометрий.