Квазиполя и проективные плоскости трансляций малых четных порядков

Построения различных классов конечных недезарговых плоскостей трансляций и квазиполей тесно связаны и с середины прошлого века систематически опираются на компьютерные вычисления. Мы находим структурное описание полуполей порядка 32 и квазиполей порядка 16, соответствующих плоскостей трансляций.
Известно, что проективные плоскости трансляций любого примарного порядка $p^n$ с простым $p$ удается построить, координатизируя их линейным пространством $W$ размеpности $n$ над простым полем из $p$ элементов и характеризуя регулярным множеством, позволяющим снабдить $W$ структурой квазиполя (возможно наперед заданным). Плоскость называют полуполевой, если $W$ — полуполе; в случае поля $W$ плоскость дезаргова. Изоморфность полуполевых плоскостей равносильна изотопности их полуполей.
Строение квазиполей порядка $p^n$, в отличие от конечных полей, изучено мало даже при небольших простых или близких к простым $n$. Клейнфилд в 1960 году классифицировал, с точностью до изоморфизмов, квазиполя с ядром порядка 4 и все полуполя порядка 16. Классификацию всех плоскостей трансляций порядка 16 и 32 позднее завершили Демпволф и др. С помощью регулярных множеств недезарговых плоскостей удается построить 5 полуполей порядка 32 и 7 квазиполей порядка 16, исчерпывающих, с точностью до изотопизмов, все полуполя порядка 32 и, соответственно, квазиполя порядка 16. Основные результаты статьи перечисляют для них в случае полуполей (в случае квазиполей частично) ядра и все подполя, а также введенные порядки элементов и спектры соответствующих луп.