О применении функций Гаусса и Лапласа в сочетании с теоремой Колмогорова для аппроксимации функций многих переменных

Исследуется специальный класс аппроксимаций измеримых функций многих переменных на единичном координатном кубе. Основу построения этого класса составляет теорема Колмогорова (в версии Шпрехера–Голубкова) о представлении произвольной непрерывной функции $f$ многих переменных в виде конечной суперпозиции непрерывных функций одного переменного: так называемых внешних (зависящих от $f$) и одной внутренней $\Psi$ (не зависящей от $f$ и монотонной). Изучаемый класс в случае непрерывных функций $f$ получается посредством аппроксимации внешних функций линейными комбинациями квадратичных экспонент (функций Гаусса), а внутренней функции $\Psi$ — линейными комбинациями функций Лапласа. Измеримая функция $f$, как известно, аппроксимируется непрерывной в соответствии с классической теоремой Лузина (с точностью до множества малой меры). Эффективность такого подхода основана на утверждениях о возможности сколь угодно точной аппроксимации на любом фиксированном конечном отрезке материнского вейвлета «мексиканская шляпа» линейной комбинацией двух функций Гаусса, а также о возможности сколь угодно точной равномерной аппроксимации непрерывных монотонных функций монотонной линейной комбинацией сдвигов и сжатий интеграла Лапласа (функций Лапласа). Доказывается всюду плотность изучаемого класса аппроксимаций в классе непрерывных функций многих переменных на координатном кубе. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие эффективность аппроксимаций изучаемого класса на примере непрерывных и кусочно непрерывных функций двух переменных.