О точной наблюдаемости нелинейного эволюционного уравнения с ограниченным оператором правой части на малом промежутке

Для задачи Коши, связанной с нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве $X$, получены достаточные условия точной наблюдаемости на малом промежутке. За счет условия ограниченности снизу положительной константой на единичной сфере относительно линейного наблюдателя (оператора наблюдения) и с помощью теоремы Минти–Браудера задача наблюдаемости переформулируется в виде операторного (интегрального) уравнения с правой частью, содержащей (помимо вольтеррова, «локального» по времени слагаемого), также и нелокальный член. Однозначная разрешимость полученного операторного уравнения (уравнения восстановления состояния по наблюдению) доказывается с помощью принципа сжимающих отображений за счет предположения о малости промежутка наблюдения. Кроме того, доказываются две теоремы о глобальном восстановлении состояния: 1) по наблюдению на малом промежутке и при условии глобальной разрешимости некоторого мажорантного интегрального уравнения в пространстве $\mathbb{R}$; 2) по серии наблюдений на малых промежутках при наличии априорной информации о принадлежности значений состояния ограниченному шару в $X$. В качестве примера (представляющего самостоятельный интерес) рассматривается полулинейное уравнение глобальной электрической цепи в атмосфере Земли.