RUS  ENG
Полная версия
ЖУРНАЛЫ // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета // Архив

Изв. ИМИ УдГУ, 2025, том 65, страницы 36–53 (Mi iimi476)

МАТЕМАТИКА

О методе упаковки геодезических кругов в сферический сегмент с использованием плоской проекции

А. Л. Казаковab, А. А. Лемпертa, Д. Нгуенb

a Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134
b Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83

Аннотация: В статье рассматривается задача об оптимальном размещении внутри сферического сегмента заданного числа равных геодезических кругов без пересечений, причем критерием оптимальности является максимизация их радиуса. Данная постановка известна как задача Таммеса и представляет собой один из вариантов классической проблемы о плотнейшей упаковке однотипных объектов в контейнер. Для решения рассмотренной задачи предложен оригинальный двухэтапный численный метод. На первом этапе строится начальное приближение с использованием известных оптимальных упаковок равных кругов в круг большего радиуса, центры которых проектируются специальным образом на сферический сегмент. Доказывается теорема о свойствах проекции, устанавливающая связь между радиусами элементов плоской и сферической упаковок. На втором этапе выполняется процедура улучшения с помощью бильярдного моделирования. Выполнены иллюстрирующие численные расчеты для сферических сегментов различного углового размера. Проведено сравнение их результатов с известными, которое показывает, что предлагаемый метод позволяет находить оптимальные или близкие к ним упаковки за значительно (на два-три порядка) меньшее время, чем при использовании традиционного метода мультистарта. Решена прикладная задача о проектировании сферической фокальной поверхности, которая возникает в инженерной оптике.

Ключевые слова: упаковка равных кругов, геодезический круг, сферический сегмент, задача Таммеса, диаграмма Вороного, численный метод, математическое моделирование

УДК: 514.174.2

MSC: 52C17, 05B40

Поступила в редакцию: 18.04.2025
Принята в печать: 10.05.2025

DOI: 10.35634/2226-3594-2025-65-03



© МИАН, 2025