Изомонодромные деформации связностей Ламе, уравнение Пенлеве VI и симметрия Окамото

Связностью Ламе называется логарифмическая $\mathrm{sl}(2,\mathbb C)$-связность $(E,\nabla)$ над эллиптической кривой $X\colon \{y^2=x(x-1)(x-t)\}$, $t\neq 0,1$, имеющая простой полюс на бесконечности. Показано, что если такая связность неприводима, то она инвариантна относительно стандартной инволюции и опускается до логарифмической $\mathrm{sl}(2,\mathbb C)$-связности на $\mathbb P^1$ с полюсами в точках $0$, $1$, $t$ и $\infty$. Поэтому изомонодромная деформация $(E_t,\nabla_t)$ неприводимой связности Ламе, при которой эллиптическая кривая $X_t$ меняется в семействе Лежандра, параметризуется некоторым решением $q(t)$ шестого дифференциального уравнения Пенлеве $\mathrm{P}_{\mathrm{VI}}$. Вариация векторного расслоения $E_t$ при такой деформации вычислена в терминах отображения модулей Ту: она задается другим решением $\tilde q(t)$ уравнения $\mathrm{P}_{\mathrm{VI}}$, связанным с $q(t)$ посредством симметрии Окамото $s_2 s_1 s_2$ (в обозначениях Ноуми–Ямада). Поставлен мотивированный задачей Римана–Гильберта для классического уравнения Ламе вопрос о том, имеют ли трансценденты Пенлеве полюсы. Часть результатов работы была анонсирована в [6].
Библиография: 35 наименований.