Об арифметике модифицированных групп классов иделей

Пусть $k$ – числовое поле и $S$, $T$ – множества точек поля $k$. Для любого простого $p$ мы определяем инвариант $\mathscr{G}=\mathscr{G}_p(k_\infty/k,S,T)$, связанный с группой Галуа максимального абелева расширения поля $k$, которое не разветвлено вне $S$ и вполне распадается в $T$. В основной теореме мы интерпретируем $\mathscr{G}$ в терминах другого арифметического объекта $\mathscr{U}$, затрагивающего различные группы единиц и использующего теорию родов, примененную к некоторым модулям, которые получены некоторыми техническими модификациями из групп иделей. Мы показываем, что эта интерпретация функториальна относительно $S$ и $T$ и, вследствие этого, приводит к интересным взаимосвязям арифметических объектов $\mathscr{G}$ и $\mathscr{U}$ при меняющихся $S$ и $T$. Наш подход и методы новы и отличны от классических методов теории родов для групп иделей. Преимущество новых методов на конечном уровне не только обобщает, но также усиливает некоторые известные результаты, затрагивающие максимальную $p$-абелеву проконечную группу Галуа поля $k$, не разветвленную вне $S$ и распадающуюся в $T$, в терминах арифметики некоторых единиц поля $k$. На бесконечном уровне наши методы связывают глубокую арифметику специальных единиц с арифметикой проконечных групп Галуа. Например, для специального выбора $S$ и $T$ инварианты $\mathscr{G}$ связаны с гипотезами Гросса (или Кузьмина–Гросса) и Леопольдта. Соответственно, функториальная интерпретация $\mathscr{G}$ при вариации $S$ и $T$ в специальных случаях включает интересные связи между гипотезами Гросса и Леопольдта, полученные более простым и конкретным образом. Как результат, мы высказываем предположение, что $\mathscr{G}$ конечен для всех конечных непересекающихся множеств $S$, $T$ над круговой $\mathbb{Z}_p$-башней поля $k$, что включает гипотезы Гросса и Леопольдта как специальные случаи.
Библиография: 23 наименования.