Controller synthesis for a state-constrained optimal control problem governed by a Laplace equation

Статья посвящена задаче оптимального управления объектом, поведение которого описывается уравнением Лапласа. В начале рассматривается задача оптимального управления системой дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа второго порядка. Исследован случай так называемой сингулярной системы [1]. В такой системе заданному управлению может не соответствовать никакое состояние управляемого объекта, либо, напротив, таких состояний может быть бесконечно много, либо состояние может быть только одно, но неустойчивое. В такой ситуации применение классической теории оптимального управления оказывается либо очень затруднительным, либо вообще невозможным. Специальные методы, применимые к задачам управления сингулярными распределенными системами были развиты в работах Ж.Л. Лионса, И. Экланда, П. Марселини, Ж. Моссино, П. Ривера и многих других авторов. Однако стоит заметить, что в подавляющем большинстве этих работ рассматривается простейшая постановка задачи. Она характеризуется тем, что множество допустимых процессов, то есть процессов, среди которых ищется минимум некоторого функционала, описывается только дифференциальным уравнением и связанными с ним граничными условиями. В настоящей работе рассмотрен более общий и сложный случай, а именно, случай, когда в описании упомянутого множества присутствуют так называемые фазовые ограничения. Они требуют, чтобы фазовый вектор системы не покидал заданного множества. В такой постановке задача оптимального управления сингулярной распределенной системой, несомненно, представляет значительный интерес. В статье показано, что оптимальный процесс в данной задаче порождается нелинейным оптимальным регулятором и получено его уравнение.