Об оценке группы собственных функций и спектральной функции оператора Лапласа, умноженного на кусочно-постоянный коэффициент, и задачи Дирихле в трёхмерной области

В статье рассматривается задача на собственные функции оператора Лапласа, умноженного на кусочно-постоянный коэффициент, и задача Дирихле в трёхмерной области. Получена оценка группы собственных функций в замкнутой области (так называемой, «пачки» по терминологии В.А. Ильина, то есть части спектральной функции, когда обе точки совпадают) и асимптотика спектральной функции, когда одна точка находится на поверхности разрыва коэффициента, а другая вне этой поверхности. Оценка и асимптотика найдены с точностью до логарифмического множителя. Из доказанных оценки и асимптотики получены равномерная оценка группы собственных функций во всей замкнутой области, а также равномерная асимптотическая оценка спектральной функции.