Минимальная непродолжаемая частичная полугруппа

В статье рассматриваются частичные полугруппы с конечным числом элементов. Любая частичная полугруппа может быть продолжена до полной полугруппы с помощью добавления элементов — внешним полугрупповым образом, например нуля полугруппы. Интересен вопрос продолжения частичной полугруппы без добавления к ней элементов — внутренним полугрупповым образом. Целью данной работы является нахождение непродолжаемой внутренним образом частичной полугруппы с минимальным количеством элементов. С увеличением количества элементов в множестве количество частичных группоидов на этом множестве растет экспоненциально, а количество частичных полугрупп среди этих частичных группоидов заранее не известно. Поэтому для нахождения частичных полугрупп необходимо воспользоваться помощью компьютера или Интернета. В сети Интернет (пакет GAP) уже есть все полугруппы с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма на множестве, состоящем не более чем из 8 элементов, поэтому достаточно получить из полугрупп с нулем частичные полугруппы путём удаления нуля. Проверка на возможность продолжить частичную полугруппу внутренним полугрупповым образом проводилась с помощью компьютера. В результате было установлено, что все частичные полугруппы на множестве, состоящем не более чем из 4 элементов, могут быть продолжены внутренним полугрупповым образом до полных. На 5-элементном множестве существует только одна частичная полугруппа с точностью до изоморфизма и антиизоморфизма, которая не может быть продолжена до полной полугруппы.