К вопросу об аппроксимации класса $C^{(0)}$ компонент физических величин в криволинейных системах координат

В численных методах расчета прочности техносферных объектов широко используются аппроксимирующие выражения искомых величин через их узловые значения. Теория аппроксимирующих функций скалярных величин в настоящее время развита достаточно полно, но ее непосредственное использование в криволинейных системах координат для аппроксимации компонент векторов перемещений и для компонент тензоров напряжений может приводить к значительной некорректности при существенных градиентах кривизны и смещениях рассчитываемого объекта как жесткого целого из-за отсутствия в аппроксимирующих выражениях параметров используемой в расчете криволинейной системы координат. В настоящей работе с целью получения аппроксимирующих выражений для отдельных компонент вектора перемещения внутренней точки конечного элемента в форме шестигранника использованы известные аппроксимирующие функции непосредственно для вектора перемещения через векторы перемещений узловых точек. В результате координатных преобразований, а именно в использовании матричных выражений базисных векторов узловых точек конечного элемента через базисные векторы его внутренней точки, получаются аппроксимирующие выражения каждой компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через все компоненты векторов перемещений узловых точек конечного элемента. С целью получения аппроксимирующих выражений для компонент тензора напряжений внутренней точки конечного элемента используется известная аппроксимирующая функция непосредственно для выражения тензора напряжений внутренней точки конечного элемента через тензоры напряжений в его узловых точках. Координатные преобразования заключаются в использовании матричных выражений диадных произведений базисных векторов узловых точек через диадные произведения базисного вектора внутренней точки конечного элемента. В результате координатного преобразования определяется аппроксимирующее выражение каждой компоненты тензора напряжения в окрестности внутренней точки конечного элемента через все компоненты тензоров напряжений в узловых точках. Полученные аппроксимирующие выражения для компонент вектора перемещения и компонент тензора напряжения с использованием матричных выражений базисных векторов узловых точек через базисные векторы внутренней точки конечного элемента, а также через матричные выражения их диадных произведений позволяют учитывать параметры используемой криволинейной системы координат, что приводит к решению общеизвестной в МКЭ проблемы учета смещения конечного элемента как твердого тела.