Безусловная сходимость разностей ядер Фейера на $L^2(\mathbb{R})$

Пусть $K_n(x)$ — ядро Фейера, заданное формулой
$$K_n(x)=\sum_{j=-n}^n\left(1-\frac{|j|}{n+1}\right)e^{-ijx},$$
и $\sigma_nf(x)=(K_n\ast f)(x)$, где $f\ast g$ обозначает свертку $f$ и $g$. Пусть последовательность $\{n_k\}$ лакунарна. Тогда ряд
$$\mathcal{G}f(x)=\sum_{k=1}^\infty \left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right)$$
сходится безусловно для любой $f\in L^2(\mathbb{R})$. Пусть $(n_k)$ — лакунарная последовательность и $\{c_k\}_{k=1}^\infty \in \ell^\infty$. Положим
$$\mathcal{R}f(x)=\sum_{k=1}^\infty c_k\left(\sigma_{n_{k+1}}f(x)-\sigma_{n_k}f(x)\right).$$
Тогда существует константа $C>0$ такая, что
$$\|\mathcal{R}f\|_2\leq C\|f\|_2$$
для всех $f\in L^2(\mathbb{R})$, т. е. $\mathcal{R}f$ имеет сильный тип $(2,2)$. Как частный случай, отсюда следует, что $\mathcal{G}f$ также имеет сильный тип $(2,2)$.