О некоторых расширениях $\pi$-регулярных колец

Некоторые вариации $\pi$-регулярных и нильчистых колец были недавно введены в работах первого из авторов: "A generalization of $\pi$-regular rings, Turkish J. Math. 43 (2), 702–711 (2019)", "A symmetrization in $\pi$-regular rings, Trans. A. Razmadze Math. Inst. 174 (3), 271–275 (2020)", "A symmetric generalization of $\pi$-regular rings, Ric. Mat. 73 (1), 179–190 (2024)". Мы исследуем структуру этих классов колец и взаимосвязи между ними. В частности, мы доказываем, что $(m, n)$-регулярно нильчистые кольца обладают лево-правой симметрией, а также показываем, что выполняются включения ($D$-регулярно нильчистые) $\subseteq$ (регулярно нильчистые) $\subseteq$ ($(m, n)$-регулярно нильчистые), и отвечаем на вопросы 1, 2 и 3, поставленные в третьей из перечисленных выше работ. Более того, нами рассматриваются и другие аналогичные вопросы, касающиеся симметричных свойств некоторых классов колец, например, доказывается то, что центрально утумиевые кольца всегда являются сильно $\pi$-регулярными.