О построении практично-асимптотически оптимальных весовых кубатурных формул типа Эрмита в пространстве С.Л. Соболева $\bar{L}_{2}^{\left( m \right)}\left( {{S}_{n}} \right)$

При решении многих вопросов в теории приближенного интегрировании и дифференциальных уравнений именно правильный выбор пространств является залогом успеха. Очень ярко подобранный подход был продемонстрирован в известных работах С.Л. Соболева по полигармоническому уравнению. С.Л. Соболев поставил и решил вариационным методом первую краевую задачу для уравнения ${{\Delta }^{\ell }}u=f$ с граничными условиями на поверхностях различных размерностей.
Проблемы оптимизации формул приближенного интегрирования заключаются в минимизации нормы функционала погрешности формулы на выбранных нормированных пространствах и большинство из них рассмотрены в пространстве Соболева.
До сих пор мы рассматривали кубатурные формулы, при помощи которых приближенно вычисляется определенный интеграл от функции, когда значения этой функции в отдельных точках узлов кубатурной формулы неизвестны. Но возможны более общие кубатурные формулы, в которые входят как значения функции, так и значения ее производных того или иного порядка.
Если нам известны не только значения функции в некоторых точках $n$-мерной единичной сферы, но и значения ее производных того или иного порядка, то естественно, что при правильном использовании всех этих данных, мы можем ожидать более точный результат, чем в случае использования только значений функции.
В настоящей работе рассматриваются кубатурные формулы, которые требуют особого внимания к построению наиболее экономных формул; по выражению Н.С. Бахвалова такие формулы называются практичными.