Кратная интерполяционная задача для функций с нулевыми шаровыми средними

Пусть $|\cdot|$ — евклидова норма в $\mathbb{R}^n$, $n\geq 2$. Для $r>0$ через $V_r(\mathbb{R}^n)$ обозначим множество функций $f\in L_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \int_{|x|\leq r}f(x+y)dx=0\quad\text{для любого}\quad y\in\mathbb{R}^n. \end{equation*}
В работе исследуется интерполяция функций умеренного роста из класса $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$ вместе с производными ограниченного порядка в заданном направлении.
Пусть $d\in\mathbb{R}^n$, $\sigma\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ фиксированы, $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ — последовательность точек, лежащих на прямой $ \{x\in\mathbb{R}^n:\,x=d+t\sigma,\,t\in(-\infty,+\infty)\}$ и удовлетворяющих условиям
\begin{equation*} \underset{i\ne j}\inf\, |a_i-a_j|>0,\quad |a_k|\leq|a_{k+1}|\quad\text{для всех}\quad k\in\mathbb{N}. \end{equation*}
Пусть также $m\in\mathbb{Z}_+$, $b_{k,j}\in\mathbb{C}$, $k\in\mathbb{N}$, $j\in\{0,\ldots,m\}$, — множество чисел, удовлетворяющих условию
\begin{equation*} \underset{0\leq j\leq m}\max\, |b_{k,j}|\leq(k+1)^{\alpha} \end{equation*}
для всех $k\in\mathbb{N}$ и некоторого $\alpha\geq 0$, не зависящего от $k$. Показано (теорема), что при указанных условиях интерполяционная задача
\begin{equation*} \left(\sigma_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ldots+\sigma_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^jf(a_k)=b_{k,j},\quad k\in\mathbb{N},\quad j\in\{0,\ldots,m\}, \end{equation*}
разрешима в классе функций, принадлежащих $(V_r\cap C^{\infty})(\mathbb{R}^n)$, которые вместе со всеми своими производными имеют рост не выше степенного на бесконечности. Отмечено, что условие отделимости узлов $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ в теореме убрать нельзя, а также, что решение указанной интерполяционной задачи не является единственным. Кроме того, указано, что одномерный аналог теоремы неверен, поскольку всякая непрерывная функция класса $V_r(\mathbb{R}^n)$ при $n=1$ является $2r$-периодической.