Оптимальная интерполяционная формула с производными в пространстве Соболева

Рассматривается построение оптимальной интерполяционной формулы, предназначенной для аппроксимации функций в гильбертовом пространстве $L_2^{(3)}(0,1)$. Это пространство охватывает квадратично-интегрируемые функции с третьей обобщенной производной в интервале $[0,1]$. Интерполяционная формула представляет собой линейную комбинацию значений функции, их первой и второй производной в равноотстоящих узлах в интервале $[0,1]$. Коэффициенты определяются путем минимизации нормы функционала погрешности в сопраженном пространстве $L_2^{(3)*}(0,1)$. Этот функционал погрешности определяется как разность между функцией и ее аппроксимацией.
Ключевые результаты исследования включают явные выражения для коэффициентов и норму функционала ошибки. Здесь формулируется и решается задача оптимизации приближения, в результате чего получается система линейных уравнений для коэффициентов. Рассматривается аналитическое решение системы, дающие явные выражения для оптимальных коэффициентов.
Кроме того, интегрирование полученной оптимальной интерполяционной формулы по интервалу $[0,1]$ приводит к квадратурной формуле Эйлера–Маклорена. Демонстрируется применение этих результатов при оценке погрешности интерполяционной формулы для функций из $L_2^{(3)}(0,1)$.