О функциях, представимых рядами по системе Радемахера

В статье изучаются множества, на которых суммы рядов Радемахера принимают постоянные значения. Например, доказывается, что справедливы:
Теорема 3. {\it Для всякого числа $\delta$ {(}$0<\delta<1${)} можно построить функцию $F(x)$ {(}$0\le x\le1${)} такую, что 1) $F(x)$ отлична от постоянной и непрерывна на [0,1]; 2) существует замкнутое множество $F\subset(0,1)$ с мерой $\operatorname{mes}F>1-\delta$, на котором функция $F(x)$ является суммой ряда по системе Радемахера; 3) не существует ряда по системе Радемахера, сходящегося к функции $F(x)$ на множестве $B\subset[0,1]$ таком, что $\operatorname{mes}(B\cap F)>0$, $\operatorname{mes}(B\cap CF)>0$, где $CF=[0,1]-F$; 4) для каждого числа $\zeta$ с $|\zeta|\le\max_{0\le x\le1}|F(x)|$ существует множество $A=\{x:x\in F,F(x)=\zeta\}$ мощности континуума; 5) функция $F(x)$ не является суперпозицией двух абсолютно непрерывных на [0,1] функций, но является суммой двух суперпозиций абсолютно непрерывных на [0,1] функций; 6) $F(x)$ не имеет производной ни в одной точке $x\in F$}.
Теорема 7. {\it Существует непрерывная и отличная от постоянной функция $f(x)$ {(}$0\le x\le1${)}, обладающая свойствами: 1) $f(x)$ каждое свое значение принимает на множестве положительной хаусдорфовой размерности; 2) никакой ряд по системе Радемахера не может сходиться к $f(x)$ на множестве точек положительной меры}.