Вариационное решение осесимметричной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного цилиндра конечной длины

Рассматривается осесимметричная задача статической термоупругости для трансверсально-изотропного круглого цилиндра конечной длины. С помощью специальной функции напряжения $\varphi$, предложенной В. А. Шачневым, выводится основное уравнение поставленной задачи
$$ A\varphi=\frac1\rho\biggl(KDD+L\frac{\partial^2}{\partial\zeta^2}D+ M\frac{\partial^4}{\partial\zeta^4}\biggr)\varphi(\rho,\zeta)=\frac1\rho f(\rho,\zeta), $$
где $K$, $L$, $M$ – постоянные величины, зависящие только от коэффициентов деформации материала; $D=\rho\frac{\partial}{\partial\rho}\biggl(\frac1{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\biggr)$ – линейный оператор; $f(\rho,\zeta)$ – заданная функция. Доказывается, что оператор $A$ – симметричный и положительно определенный, и тем самым решение исходного уравнения сводится к задаче о минимальном функционале
$$ I(\varphi)=-\int_0^l\int_{\rho}^1A\varphi D\varphi\,d\rho d\zeta+ 2\int_0^l\int_{\rho}^1\frac1{\rho}fD\varphi\,d\rho\,d\zeta. $$