О площади нерегулярных поверхностей в пространствах постоянной кривизны

Определяется площадь $S(F)$ нерегулярной поверхности $F$, заданной в сферических координатах $r,\varphi,\theta$ непрерывной функцией $r=r(\varphi,\theta)$, в трехмерном пространстве постоянной кривизны $K$. Рассматриваются два определения площади, одно из которых есть обычное определение в смысле Лебега, а другое аналогично определению площади в смысле Гече для $K=0$. Доказано, что для существования $S(F)$ необходимо и достаточно, чтобы $r(\varphi,\theta)$ была функцией ограниченной вариации в смысле Тонелли, а для абсолютной непрерывности $S(F)$ необходимо и достаточно, чтобы $r(\varphi,\theta)$ была абсолютно непрерывной в смысле Тонелли. Доказана эквивалентность обоих определений площади.