Аппроксимация функций в бесконечных промежутках асимптотическими полиномами второго типа

Вводятся и изучаются асимптотические полиномы второго типа по отрицательным степеням $x$, являющиеся инструментом аппроксимации функции $f(x)$ в бесконечном промежутке $[a,\infty]$. Асимптотический полином второго типа первого рода $Q_n^*[f,x]=\sum_{s=0}^nc_sx^{-s}$ удовлетворяет системе:
\begin{gather*} (-1)^kL_n^*(f)+Q_n^*[f,\eta_k^*]=f_k\quad(k=0,\dots,n+1),\tag1 \\ \eta_k^*=\frac2{a+\eta_k},\quad\eta_k=\cos\frac{k\pi}{n+1},\quad f_k=f_k(\eta_k^*). \end{gather*}
Решение системы (1) относительно $c_s$ и функционала $L_n^*(f)$ дает:
\begin{multline*} Q_n^*[f,x]=\frac1{2(n+1)}\biggl\{f_0\frac{T_n\Bigl(\frac2x-1\Bigr)-T_{n+1}\Bigl(\frac2x-1\Bigr)}{2\Bigl(1-\frac1x\Bigr)}+ \\ +(-1)^nf_{n+1}\frac{T_n\Bigl(\frac2x-1\Bigr)+T_{n+1}\Bigl(\frac2x-1\Bigr)}{\frac2x}+ \\ +2\sum_{k=1}^n(-1)^kf_k\frac{T_n\Bigl(\frac2x-1\Bigr)-\eta_kT_{n+1}\Bigl(\frac2x-1\Bigr)}{2\Bigl(1+\eta_k-\frac1x\Bigr)}\biggr\}, \end{multline*}

\begin{gather*} L_n^*(f)=\frac1{2(n+1)}\biggl[f(\eta_0^*)+(-1)^{n+1}f_{n+1}+2\sum_{k=1}^n(-1)^kf(\eta_k^*)\biggr], \\ T_n(x)=\cos n\arccos x \end{gather*}
Доказывается теорема о равномерном стремлении $Q_n^*[f,x]$ во всем промежутке к приближаемой $f(x)$. Рассматриваются приложения $Q_n^*[f,x]$ и в виде примера дается аппроксимация $\rm{Si}(x)$ и $\rm{Ci }(х)$. Исследуются асимптотические полиномы второго типа второго рода $R_n[f,x]$, реализующие приближение функции в случае косвенного задания. Изучается решение интегральных уравнений с помощью $R_n[f,x]$.