Об одном свойстве конформного радиуса

В расширенной плоскости $C$ рассматривается замкнутое множество $\omega$, состоящее из односвязных континуумов, симметричных относительно некоторой прямой; предполагается $\Omega=C\setminus\omega$. Решается задача нахождения области с наибольшим конформным радиусом относительно заданной точки на указанной прямой среди всех односвязных областей, содержащихся в области $\Omega$. На основании решения этой задачи устанавливается ряд оценок для функций, однолистных в круге и не принимающих в нем заданных значений. В частности, получена
Теорема. {\em Пусть функция $w=f(z)=z+\dots$ регулярна и однолистна в круге $|z|<1$ и не принимает в нем значений на отрезке длины $L$ прямой $\rm{Re}w=x$, $1/4<x<1/2$, расположенном симметрично относительно вещественной оси. Тогда $L\le\frac{(4x-1)\sqrt x}{\sqrt{2(1-2x)}}$.
Знак равенства имеет место для функции, отображающей круг $|z|<1$ на плоскость с исключенным указанным отрезком и лучом $[x,+\infty]$.