К вопросу о приближении функций средними Валле–Пуссена

Э. А. Стороженко (см. Матем. заметки, т. 2, вып. 2, 1967, с. 175–186) была исследована зависимость между скоростью убывания последовательности $E_n(f)_2$ и скоростью приближения функции $f(x)$ средними Валле–Пуссена $\tau_n(x;f)$ ее ортогонального разложения. В аннотируемой работе доказывается окончательность оценок Э. А. Стороженко для любой ортонормированной системы в предположении существования мажорантной функции $F(x)\in L_2(a,b)$ (теорема 1) и окончательность тех же оценок без предположения о существовании мажорантной функции для систем, удовлетворяющих некоторым ограничениям (теорема 3). Доказательства основываются на специальных свойствах последовательностей $\nu(n)$ вида $\sum_{k=0}^{n-1}\nu^2(k)=\nu^2(n)[a_1(n+1)+a_2\alpha(n)+a_3+\beta(n)]$ при различных значениях постоянных $a_1$, $a_2$, $a_3$ (леммы 1–4). Таким образом, на множестве всех ортогональных рядов поданной системе $\{\varphi_n(x)\}$ сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty E_n^2\nu^2(n)$ является необходимым и достаточным условием справедливости оценок Э. А. Стороженко.