О вычислении периодических решений автономных систем методом последовательных приближений

Уравнение $\ddot\varphi+\omega\varphi+F(\varphi,\dot\varphi)=0$ преобразуется к эквивалентному интегральному уравнению: $\varphi=ax(\psi)$; $\psi=pt$,
$$ x=\cos\psi+\frac{p^2-\omega}{p^2}\int_0^\psi x(s)\sin(\psi-s)\,ds-\frac1{ap^2}\int_0^\psi F[ax(s);apx'(s)]\sin(\psi-s)\,ds $$
в котором $p$ и $a$ — соответственно частота и амплитуда искомого периодического решения. Затем строится последовательность приближений $x_1=\cos\psi$;
$$ x_{n+1}=\cos\psi+\frac{p_n^2-\omega}{p_n^2}\int_0^\psi x_n(s)\sin(\psi-s)\,ds-\frac1{a_np_n^2}\int_0^\psi F[a_nx_n(s);a_np_nx'_n(s)]\sin(\psi-s)\,ds $$
причем приближения для частот $p_n$ и амплитуд $a_n$ находятся из условий периодичности функций $x_n$ по углу $\psi$,
\begin{gather*} (p_n^2-\omega)\int_0^{2\pi}x_n(s)\cos s\,ds=\frac1{a_n}\int_0^{2\pi}F[a_nx_n(s);a_np_nx'_n(s)]\cos s\,ds; \\ (p_n^2-\omega)\int_0^{2\pi}x_n(s)\sin s\,ds=\frac1{a_n}\int_0^{2\pi}F[a_nx_n(s);a_np_nx'_n(s)]\sin s\,ds \end{gather*}
Доказана сходимость приближений для уравнения $\ddot\varphi+\omega\varphi+\varphi F(\varphi)=0$.