Приближение функций с заданным модулем непрерывности некоторыми тригонометрическими полиномами

Рассматривается класс $H\omega(\delta)$ $2\pi$-периодических функций $f(x)$ с заданным модулем непрерывности $\omega(\delta)$.
$$ \overline V_{n,p}^m(f,x)=\frac1{(p+1)m}\sum_{i=1}^mf(x_i)\frac{\sin\frac{2n-p+1}2(x_i-x)\sin\frac{p+1}2(x_i-x)}{\sin^2\frac{(x_i-x)}2} $$
— усеченные средние частных сумм полиномов $T_n^m(f,x)$ наилучшего среднеквадратического приближения в системе узлов $x_i=\frac{2\pi i}m$, $i=1,2,\dots,m$, $m(n)\ge 2n+1$ Получена асимптотическая оценка величины $E_{\overline V_{n,p}^m}(H\omega(\delta)x=\sup\limits_{f(x)\in H\omega(\delta)}|f(x)-\overline V_{n,p}^m(f,x)|$ на классе $H\omega(\delta)$. Доказывается
Теорема. {\em Пусть $f(x)\in H\omega(\delta)$. Тогда при всех $0\le p\le\frac n2$ для уклонения функции $f(x)$ от полиномов $\overline V_{n,p}^m(f,x)$ при $m=(2n+1)s$ справедливо равенство
\begin{multline*} E_{\overline V_{n,p}^m}(H\omega(\delta),x)=\theta_n\frac{\ln\frac n{p+1}}{s\pi}\biggl\{2\biggl|\cos\frac{2n+1}2x\biggr|\sum_{r=1}^\nu\sin\frac{\pi r}s\omega\biggl[\frac{4\pi r}{(2n+1)s}\biggr]+ \\ +2\biggl|\sin\frac{2n+1}2x\biggr|\sum_{r=1}^\nu\cos\frac{\pi r}s\omega\biggl[\frac{4\pi(s/2-r)}{(2n+1)s}\biggr]+ \\ +\biggl|\sin\frac{2n+1}2x\biggr|\omega\biggl(\frac{2\pi}{2n+1}\biggr)+S\biggr\}+O\biggl[\omega\biggl(\frac1n\biggr)\biggr]. \end{multline*}
где $ \nu= \begin{cases} (s-2)/2&\text{ при $s$ четном}, \\ (s-1)/2&\text{ при $s$ нечетном}, \end{cases} $
$$ S= \begin{cases} \bigl|\cos\frac{2n+1}2x\bigr|\omega\bigl(\frac{2\pi}{2n+1}\bigr)&\text{ при $s$ четном}, \\ 0&\text{ при $s$ нечетном} \end{cases} $$
и $2/5\le\theta_n\le1$, причем в случае выпуклого модуля непрерывности $1/2\le\theta_n\le1$; $\theta_n=1$ при $s=1$ (при любом модуле непрерывности) и при $s\to\infty$ (в случае выпуклого модуля непрерывности)}.
Другая теорема дает асимптотическую оценку величины $E_{\overline V_{n,p}^m}(H\omega(\delta),x)$ для $n/2\le p\le n-1$ при любом $m\ge2n+1$.