Продолжение функций и абсолютная сходимость некоторых функциональных рядов

Пусть на отрезке $[a,b]$ дана система непрерывных функций $\{\varphi_n(x)\}_{n=1}^\infty$, ограниченных в совокупности. Замкнутое множество $E\subset[a,b]$ называется $CH$-множеством для системы $\{\varphi_n(x)\}$, если любую функцию $f(x)$, определенную и непрерывную на $E$, можно продолжить на весь отрезок $[a,b]$ до функции $\varphi(x)$ вида $\varphi(x)=\sum_{n=1}^\infty c_n\varphi_n(x)$, где $\sum_{n=1}^\infty|c_n|<\infty$. В § 1 доказана
Теорема. {\em Для того чтобы замкнутое множество $E\subset[a,b]$ было $CH$-множеством для системы $\{\varphi_n(x)\}$, необходимо и достаточно, чтобы существовала константа $\delta>0$ такая, что для любой мер $\mu$, сосредоточенной на $E$, было справедливо неравенство $\sup\limits_n|\int_E\varphi_n\,d\mu|\ge\delta\int_E|d\mu|$.}
Для системы $\{e^{inx}\}_{-\infty}^{+\infty}$ это предложение доказано Каханом и Салемом. Показано, что множество $E_1=\{0\}\bigcup\{1/2^n\}_{n=1}^{+\infty}$ является, а $E_2=\{0\}\bigcup\bigl\{\bigcup_{i=1}^{+\infty}\bigcup_{k=1}^i\frac{i+k}{2^ii}\bigr\}$ не является $CH$-множеством для $e^{inx}$. Установлено, что сумма двух непересекающихся $CH$-множеств для системы $e^{inx}$ является $CH$-множеством, но это утверждение теряет силу для счетной суммы $CH$-множеств, даже если она замкнута.