К методу С. Н. Бернштейна–И. Марцинкевича суммирования интерполяционных процессов

Пусть $f(z)$ аналитична в $|z|<1$ и непрерывна в $|z|\le1$. Множество всех таких $f(z)$ обозначим через $A$. Через $L_n(f,z)=\sum_{j=0}^{n-1}A_j(f)z^j$ обозначим интерполяционный многочлен Лагранжа степени $n-1$, построенный для $f\in A$ и узлов $z_k^{(n)}=e^{i\theta_k^{(n)}}$, $\theta_k^{(n)}=(2k-1)\pi/n$, $k=1,2,\dots,n$. Положим $\tau_n(f,z)=(s_0+s_1+\dots+s_{n-1})/n$, где $s_h=\sum_{j=0}^ha_j(f)z^j$. Доказано, что для любой $f\in A$ равномерно в $|z|<1$ выполняется равенство $\lim\limits_{n\to\infty}\tau_n(f,z)=f(z)$ и существуют такие $f\in A$, для которых $\lim\limits_{n\to\infty}\tau_n(f,1)=\infty$.