О вычислении периодических решений неавтономных систем методом последовательных приближений

Предлагается новый способ вычисления $2\pi$-периодического по углу $\psi=\nu t+\alpha$ решения уравнения
$$ \ddot x+2\lambda\dot x+\omega x+F(x,\dot x)=\Phi(\nu t+\alpha), $$
в котором $\Phi(\psi)$ — заданная $2\pi$-периодическая по $\psi$ функция.
После замены $\psi=\nu t+\alpha$ уравнение преобразуется к эквивалентному интегро-дифференциальному уравнению
\begin{multline*} x=a\cos(\psi+\theta)+(1-\omega/\nu^2)\int_0^\psi x(s)\sin(\psi-s)\,ds-\frac{2\lambda}\nu\int_0^\psi x'(s)\sin(\psi-s)\,ds- \\ -\frac1{\nu^2}\int_0^\psi F[x(s);\nu x'(s)]\sin(\psi-s)\,ds+\frac1{\nu^2}\int_0^\psi \Phi(s)\sin(\psi-s)\,ds. \end{multline*}
Решение этого уравнения разыскивается в виде приближений
\begin{gather*} x_1=a_1\cos(\psi+\theta_1),\quad x_{n+1}=a_{n+1}\cos(\psi+\theta_{n+1})+ \\ +(1-\omega/\nu^2)\int_0^\psi x_n(s)\sin(\psi-s)\,ds-\frac{2\lambda}\nu\int_0^\psi x_n'(s)\sin(\psi-s)\,ds- \\ -\frac1{\nu^2}\int_0^\psi F[x_n(s);\nu x_n'(s)]\sin(\psi-s)\,ds+\frac1{\nu^2}\int_0^\psi \Phi(s)\sin(\psi-s)\,ds. \end{gather*}

Приближения для амплитуды $a_n$ и фазы $\theta_n$ находятся из условий периодичности функций $x_{n+1}$ по углу $\psi$
\begin{gather*} (\nu^2-\omega)\int_0^{2\pi}x_n(s)\left\{\cos s\atop\sin s\right\}\,ds-2\lambda\nu\int_0^{2\pi}x'_n(s)\left\{\cos s\atop\sin s\right\}\,ds= \\ =\int_0^{2\pi}F[x_n(s);\nu x_n'(s)]\left\{\cos s\atop\sin s\right\}\,ds-\int_0^{2\pi}\Phi(s)\left\{\cos s\atop\sin s\right\}\,ds. \end{gather*}

Доказана сходимость упомянутых приближений при условии, что $(\nu^2-\omega)^2+4\lambda^2\nu^2\ne0$, а функция $F(x,\dot x)$ удовлетворяет в области, содержащей начало координат, условию Липшица и $F(0,0)=dF(0,0)=0$.