Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения, I

Наряду с эллиптическим уравнением $L(U)=\sum_{k=0}^{2n}a_k\partial^{2n}U(x,y)/\partial x^{2n-k}\partial y^k=0$ с вещественными постоянными коэффициентами рассматривается тесно связанное с ним дифференциальное уравнение $\partial^nF(z)/\partial z_1^{-\lambda_1}\dots\partial z_\nu^{-\lambda_\nu}$, где $z_q=x+s_qy$, а $s_q$ — корни полинома $\sum_{k=0}^{2n}a_ks^k$ с положительными мнимыми частями кратности $\lambda_q$, $\lambda_1+\dots+\lambda_\nu=n$. Для последнего уравнения рассматривается ряд краевых задач, односторонних и двусторонних. Для некоторого класса областей эти задачи могут быть приведены к краевым задачам теории аналитических функций с помощью методов конформного отображения, характеристической функции и симметрии. Показывается равносильность указанных методов и дается точная геометрическая характеристика того класса областей, для которых они применимы. В конце статьи рассматривается одна задача сопряжения для произвольного контура, решение которой дается в квадратурах.