Эта публикация цитируется в
2 статьях
Паранормальные элементы в нормированной алгебре
А. М. Бикчентаев,
С. А. Абед Казанский федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация:
Для нормированной алгебры
$ \mathcal{A}$ и натурального числа
$k$ введены и исследованы
$\|\cdot \|$-замкнутые классы
$\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$. Показано, что
$ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ содержится в
$\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$ для всех
$k$ и замкнут относительно возведения своих элементов в любую натуральную степень. Если
$ \mathcal{A}$ унитальна,
$U$,
$V$ из
$\mathcal{A}$ такие, что
$\|U\|=\|V\|=1$,
$VU=I$ и
$T\in \mathcal{P}_k(\mathcal{A})$, то
$UTV$ лежит в
$\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$ для всех
$k$. Пусть
$ \mathcal{A}$ унитальна, тогда 1) если элемент
$T$ из
$\mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ обратим справа, то правый обратный элемент
$T^{-1}$ лежит в
$ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$; 2) при
$\|I\|=1$ класс
$ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ состоит из нормалоидных элементов; 3) если спектр элемента
$T$ из
$\mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ лежит на единичной окружности, то
$\|TX\|=\|X\|$ для всех
$X$ из
$\mathcal{A}$. Если
$\mathcal{A}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$, то класс
$ \mathcal{P}_1(\mathcal{A}) $ совпадает с классом всех паранормальных операторов в гильбертовом пространстве
$\mathcal{H}$.
Ключевые слова:
гильбертово пространство,
$C^*$-алгебра, паранормальный оператор, квазинильпотентный оператор, изометрия, гипонормальный оператор, нормалоидный оператор, нормированная алгебра, унитальная алгебра.
УДК:
517.98 Поступила: 29.03.2017