Об эллиптических однородных дифференциальных операторах в гранд-пространствах

Дается приложение развиваемой в последние годы теории функциональных пространств, известных как гранд-пространство Лебега и гранд-пространство Соболева, к дифференциальным уравнениям в частных производных. В случае неограниченных областей такие пространства строятся с использованием так называемых грандизаторов. При некоторых естественных предположениях о выборе грандизатора для произвольного эллиптического однородного дифференциального оператора $P_m(D)$ четного порядка с постоянными вещественными коэффициентами доказывается существование в некотором гранд-пространстве Соболева решения уравнения $P_m(D)u(x)=f(x)$, $x\in \mathbb{R}^n$, $m<n$, с правой частью из соответствующего гранд-пространства Лебега. Кроме того, для указанных многочленов $P_m(x)$ в общем случае уточняются известные факты для соответствующего фундаментального решения: оно строится в явном виде либо в виде сферических гиперсингулярных интегралов, либо в виде некоторых средних по плоским сечениям единичной сферы.