Об одном подходе в исследовании периодической задачи для случайных дифференциальных уравнений

Геометрические и топологические методы анализа, применяемые к задачам о нелинейных колебаниях динамических систем, восходят к именам А. Пуанкаре, Л. Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере, Ю. Шаудера. В дальнейшем эти методы были развиты и продемонстрировали свою эффективность в трудах многих математиков. Отметим, в частности, чрезвычайно плодотворное направление, связанное с понятием направляющей функции, основу которого заложили разработки М.А. Красносельского и А.И. Перова.
В настоящей работе для исследования периодической задачи случайных дифференциальных уравнений используется модификация классического понятия направляющей функции – случайная негладкая многолистная направляющая функция. Существенным преимуществом по сравнению с классическим подходом является возможность "локализовать"$ $ проверку основного условия "направляемости"$ $ на области, зависящей от самой направляющей функции, причем на области не всего пространства, а его подпространства меньшей размерности. В классических работах по методу направляющих функций, как правило, предполагается, что эти функции являются гладкими на всем фазовом пространстве. Это условие может представиться ограничительным, например, в таких ситуациях, когда направляющие потенциалы различны в различных областях пространства. Для снятия указанного ограничения в работе рассматриваются негладкие направляющие потенциалы и их обобщенные градиенты.