Отображение $H^1_w(\mathbb{R})$ в $L^1_w(\mathbb{R})$ вариационным оператором разностей средних по лакунарным последовательностям

Пусть $f$ — локально интегрируемая функция, заданная на $\mathbb{R}$, а $(n_k)$ — лакунарная последовательность. Зададим
$$A_nf(x)=\frac{1}{n}\int_0^nf(x-t) dt,$$
и пусть
$$\mathcal{V}_{\rho}f(x)=\left(\sum_{k=1}^\infty|A_{n_k}f(x)-A_{n_{k-1}}f(x)|^{\rho}\right)^{1/\rho}.$$
Предположим, что $w\in A_p$, $1\leq p<\infty$, и $\rho\geq 2$. Тогда существует положительная константа $C$ такая, что
$$\|\mathcal{V}_{\rho}f\|_{L^1_w}\leq C\|f\|_{H^1_w}$$
для всех $f\in H^1_w(\mathbb{R})$.