Каталитическая модель массового обслуживания на примере циклической очереди

Сформулирована и исследована детерминистическая («жидкостная») модель системы массового обслуживания с открытой на вход и выход циклической очередью с возможностью отказов от получения услуги. Модель представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, переменными которых являются клиенты, ожидающие обслуживания, клиенты, получившие услугу, и серверы (каналы обслуживания).
Цель работы – вывести минимальную математическую модель процесса оказания услуги как обобщённой псевдохимической реакции с катализатором. Особенность подхода состоит в представлении о провайдере услуги как о своего рода ферменте-катализаторе, который осуществляет трансформацию клиентов из категории ожидающих обслуживания в категорию получивших услугу, возвращаясь в исходное состояние после каждого акта конверсии. С междисциплинарной точки зрения, биохимическую реакцию и взаимодействие потребителя с провайдером объединяет образование короткоживущего комплекса – это соответственно фермент-субстрат и клиент-сервер. Построив базовую модель акта услуги, мы показываем её работоспособность на примере циклической системы массового обслуживания. Сформулированная модель циклической очереди исследуется методами качественной теории дифференциальных уравнений. Известный из практики факт, что среднее время обслуживания намного короче характерного времени ожидания, делает исходную систему уравнений сингулярно возмущённой. Методом многих масштабов система расщепляется на медленную и быструю подсистемы, описывающие соответственно динамику клиентов и серверов. Результаты. Показано, что в адиабатическом приближении количество занятых обслуживанием серверов мгновенно отслеживает текущую длину очереди (то есть спрос) в соответствии с известными соотношениями для квазистационарных концентраций ферментативной кинетики. Найдено физически допустимое стационарное решение медленной подсистемы и доказана его асимптотическая устойчивость. Проведён параметрический анализ стационарного состояния. Получен практический вывод о том, что стационарный спрос на услугу остаётся низким независимо от частоты отказов при входящем потоке клиентов, не превышающем некоторый критический уровень. Предложенный формализм также позволяет вывести в аналитическом виде клиринговую функцию - зависимость скорости обслуживания от текущего спроса. Показано, что формула клиринговой функции применима во всех случаях, когда время обслуживания меньше времени ожидания, и необязательно только в стационарном режиме работы системы.