О гомоклинических аттракторах трехмерных потоков

Основной целью работы является построение классификации гомоклинических аттракторов трехмерных динамических систем с непрерывным временем и выделение среди них классов псевдогиперболических аттракторов, хаотическая динамика которых сохраняется при возмущениях системы. Основным методом исследования является качественный метод карты седел, заключающийся в построении расширенной бифуркационной диаграммы на плоскости параметров системы вида $\dot{x}=y+g_1(x,y,z)$, $\dot{y}=z+g_2(x,y,z)$, $\dot{z}=Ax+By+Cz+g_3(x,y,z)$, $g_i(0,0,0) = (g_i)'_x(0,0,0) = (g_i)'_y(0,0,0) = (g_i)'_z(0,0,0) = 0$, $ i = 1, 2, 3$, матрица линеаризации которой представляется в форме Фробениуса, а собственные числа, определяющие тип состояния равновесия, выражаются только лишь через коэффициенты A, B, C. Для проверки псевдогиперболичности рассматриваемых аттракторов применяется численный метод анализа непрерывности подпространства равномерного сжатия и подпространства растяжения объемов на аттракторе. Принадлежность аттракторов к классу гомоклинических устанавливается с помощью численного метода расчета расстояния от аттрактора до седлового состояния равновесия. Результаты. На плоскости параметров (A,B) построена расширенная бифуркационная диаграмма, на которой выделена область устойчивости состояния равновесия, а также шесть областей, отвечающих двум различным типам спиральных восьмерочных аттракторов, аттрактору Шильникова, аттрактору Лоренца, седловому аттрактору Шильникова и аттрактору типа Любимова-Закса-Ровеллы. Численно установлена псевдогиперболичность аттрактора Лоренца. Для аттракторов Любимова-Закса-Ровеллы установлена непрерывность подпространств сжатия и растяжения объемов. Тем не менее показано, что такие аттракторы не могут быть псевдогиперболическими. В работе обсуждается, что в трехмерных потоках помимо аттракторов Лоренца псевдогиперболическими могут быть еще только лишь седловые аттракторы Шильникова, содержащие седловое состояние равновесия с двумерным неустойчивым многообразием. Однако примеры таких аттракторов на данный момент не известны.