Новые формулы обращения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина

Актуальность и цели. Аналитические методы решения задач математической физики, в том числе интегральные преобразования, являются активно развивающимся направлением математического моделирования. Метод интегральных преобразований представляет собой один из наиболее действенных аналитических методов решения модельных задач математической физики. Помимо непосредственных приложений в физике и при решении краевых задач математической физики, интегральные преобразования возникают в технике для кодирования и фильтрации сигналов. Существующие в настоящее время формулы обращения интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина обладают серьезным недостатком: они требуют выхода в комплексную область или содержат производные как угодно большого порядка. Оба указанных недостатка приводят к вычислительным проблемам. Для их разрешения мы доказываем новые формулы для прямого и обратного интегральных преобразований Фурье, двухстороннего интегрального преобразования Лапласа, интегральных преобразований Вейерштрасса и Меллина. Новые формулы не содержат производных и получены в виде ряда по системе ортогональных полиномов Эрмита. Найдены их приложения в теории фильтрации сигналов. Материалы и методы. Работа основана на теоретических положениях анализа Фурье и теории рядов Эрмита; используются теоремы разложения для интегральных преобразований Лапласа, Вейерштрасса и Меллина. Результаты. Раскладывая ядра интегрального представления в ряд по полиномам Эрмита, мы получаем новые формулы обращения для интегрального преобразования Вейерштрасса. Далее, используя формулы для связи интегральных преобразований Лапласа, Меллина и Вейерштрасса, мы устанавливаем формулы обращения для других интегральных преобразований. Выводы. Установленные в работе новые формулы обращения интегральных преобразований открывают неизвестные ранее возможности применения классических методов интегральных преобразований Фурье, Лапласа, Вейерштрасса, Меллина в теории фильтрации сигналов и в теории обратных задач математической физики.