Периодическое решение обобщенного интегрального уравнения Абеля первого рода

Актуальность и цели. В настоящее время проблема существования периодических решений интегральных уравнений Вольтерра недостаточно изучена даже в линейном случае. Поэтому возникает потребность создания методологического аппарата для исследования вопроса существования периодических решений именно интегральных уравнений, учитывающего специфику этих математических объектов. В представляемой работе данная задача решена для класса обобщенных интегральных уравнений Абеля первого рода. Эти уравнения сохранили актуальность в качестве объектов исследования. Во-первых, они являются важными для приложений. Во-вторых, их исследования, которые продолжаются в настоящее время, во многом способствовали возникновению целого математического направления - дробного исчисления, получившего большое распространение в России и за рубежом. Материалы и методы. Для решения поставленных задач используются методы математического и функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений. Результаты. Доказан критерий существования и единственности непрерывного периодического решения обобщенного интегрального уравнения Абеля первого рода. Рассмотрены случаи натурального и положительного действительного показателей степени ядра. Указаны формулы решений и их основные периоды. Выводы. Сформулированные теоремы дают описание образа класса непрерывных периодических функций при линейном отображении, задаваемом оператором Римана - Лиувилля, и могут быть полезными для исследований в области дробного интегродифференцирования. Несмотря на очевидную связь интегральных уравнений Абеля с натуральным и действительным показателями степени ядра, доказанные критерии периодичности их решений в таком соотношении не находятся. Это связано с тем, что нелокальные операторы Римана - Лиувилля натурального и дробного порядков интегрирования отличаются свойствами. Первый имеет обратным дифференциальный оператор, который является локальным. Свойства локальности дифференциальных операторов и нелокальности интегральных операторов Вольтерра объясняют также различия, возникающие при исследовании проблемы существования периодических решений соответствующих уравнений.