Применение дифференциальных связей Бэклунда для построения точных решений нелинейных гиперболических уравнений

Актуальность и цели. Нахождение точных решений нелинейных уравнений в частных производных - одна из основных задач теории нелинейных систем. Для интегрируемых систем разработан ряд методов, но в силу сложности различных нелинейных уравнений не существует единого способа и приема их решения. Один из эффективных методов - применение дифференциальных связей Бэклунда для построения точных решений нелинейных уравнений. Преобразования Бэклунда дают возможность перейти к более простому уравнению, а применение дифференциальных связей - получить решение одного из уравнений, если решение другого известно. Кроме этого, данные преобразования играют важную роль в интегрируемых системах, так как выявляют внутренние связи между различными интегрируемыми свойствами. В последнее время в этой области было проведено множество исследований. Цель работы - получение решений нелинейных гиперболических уравнений в частных производных второго порядка с помощью дифференциальных связей Бэклунда.
Материалы и методы. Рассматривается нахождение решений нелинейных дифференциальных уравнений с применением дифференциальных связей Бэклунда. Построение преобразований Бэклунда базируется на методе, предложенном Клэрэном, для уравнений второго порядка типа Монжа - Ампера.
Результаты. Для исследуемых в работе нелинейных гиперболических уравнений в частных производных получены точные решения с помощью дифференциальных связей Бэклунда; доказано получение решений одного из уравнений, если решение другого известно; проанализированы различные случаи получения решений данным методом.
Выводы. Результаты представляют интерес для изучения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Найденные решения могут послужить основой для дальнейших исследований уравнений данного типа, а также для решения прикладных задач в различных областях естествознания.