О нелокальных бифуркациях в двухпараметрических семействах векторных полей на плоскости с инволютивной симметрией

Актуальность и цели. Исследование динамических систем, инвариантных относительно разных групп преобразований, важно как для теории дифференциальных уравнений, так и для ее приложений. Локальные бифуркации в типичных двухпараметрических семействах динамических систем, задаваемых векторными полями, инвариантными относительно инволюции плоскости, имеющей прямую из неподвижных точек, были описаны Х. Жолондеком. Целью настоящей работы является исследование некоторых нелокальных бифуркаций в таких семействах. Материалы и методы. Применяются метод точечных отображений и другие методы качественной теории дифференциальных уравнений. Результаты. Рассматривается типичное двухпараметрическое семейство векторных полей на плоскости с симметрией относительно оси x. Предполагается, что при нулевом значении параметра поле имеет грубое седло, слабое седло, лежащие на оси х, и два симметричных контура, образованные сепаратрисами этих седел. Получена бифуркационная диаграмма - разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по типам фазовых портретов в окрестности полицикла, составленного из указанных контуров. В частности, показано, что из каждого контура может родиться по одному устойчивому грубому предельному циклу. Выводы. Описан один из возможных сценариев возникновения устойчивых периодических колебаний при изменении параметров динамической системы с инволютивной симметрией.