Кратные ряды Фурье и интегралы Фурье с неразделяющимися переменными

Актуальность и цели. Интегральные преобразования функций нескольких переменных - активно развивающееся направление математического анализа. Многочисленные применения метода интегральных преобразований для решения уравнений математической физики при обработке сигналов в технике требуют совершенствования теоретического аппарата интегральных преобразований. В статье предлагается отступить от концепции симметричных интегральных преобразований, т.е. таких, в которых обратное преобразование имеет эрмитово сопряженное ядро к ядру прямого преобразования. В статье найдено разложение функции двух переменных для интеграла Фурье с группировкой гармоник по спектрам на концентрических окружностях. Аналогичная идея реализована в статье для теории кратных рядов Фурье, когда частоты гармоник группируются по границе квадрата или ромба.
Материалы и методы. Представлен вывод интегральных преобразований с неразделенными переменными на основе теоремы разложения. При этом вычисление интегралов по спектральным параметрам осуществляется переходом к полярной системе координат или к ее обобщению. В таком случае интеграл по многообразию размерности (n - 1) удается вычислить аналитически. Таким образом, в формуле обращения остается один интеграл по полярной оси.
Результаты. Сконструированы формулы обращения кратного интеграла Фурье. Их особенность состоит в том, что интегрирование ведется по полярной оси, тогда как в классической формуле обращения интегрирование ведется по многообразию размерности n. Аналогично, в теории кратных рядов Фурье получено разложение в ряд, в котором гармоники сгруппированы определенным образом и затем просуммированы в замкнутом виде. В статье предложены различные способы группировки гармонических компонент кратного ряда Фурье, что позволило получить новые формулы обращения.
Выводы. Доказаны новые формулы обращения кратного ряда Фурье и кратного интеграла Фурье; эти формулы могут быть использованы при выводе дискретных аналогов кратных интегралов Фурье с целью их применения при обработке 2D- и 3D-сигналов.