The spectral identity for the operator with non-nuclear resolvent

Прямые спектральные задачи играют важную роль во многих отраслях науки и техники. В огромном количестве математических и физических задачах требуется находить спектр различных операторов. Так же широкую область применения имеют обратные спектральные задачи. Для их решения часто нужно находить решение прямой задачи. Эффективно позволяет находить собственные числа возмущенного оператора метод регуляризованных следов. Но для операторов с неядерной резольвентой данный метод применяется тяжело. Это связанно с подбором специальной функции, преобразующей собственные числа оператора. В настоящее время ведется активный поиск метода, позволяющего вычислять собственные числа возмущенного оператора с неядерной резольвентой. В данной статье рассматривается прямая спектральная задача для оператора с нядерной резольвентой возмущенного ограниченным. В качестве метода решения используется метод регуляризованных следов. На прямую этот метод применить к данной задаче не удается. Нельзя воспользоваться в ходе решения теоремой Лидского, т.к. оператор имеет неядерную резольвенту. Предлагается ввести в рассмотрение относительную резольвенту оператора. При этом оператор $L$ выбран таким образом, что относительная резольвента оператора является ядерным оператором. В результате применения резольвентного метода к относительному спектру возмущенного оператора получаем относительные собственные числа возмущенного оператора с нядерной резольвентой.