Квантовые матрицы Рака и $3$-нитевые косы в представлениях размера $4$

Мы описываем инклюзивные матрицы Рака для простейшего не (анти)симметрического прямоугольного представления $R=[2,2]$ для квантовых групп $U_q(sl_N)$. Большая часть из них размера $2$, $3$ и $4$ и полностью описываются гипотезой о собственных значениях. Из двух матриц размера $6\times6$ одна также описывается таким образом, в случае другой, однако, собственные значения вырождены, и потому она была получена с помощью вычисления старших векторов. Вместе с намного более сложным вычислением для представления $R=[3,1]$ и новым методом вычисления эксклюзивных матриц $\mathcal{S}$ и $\bar{\mathcal{S}}$ из инклюзивных, задачу о матрицах Рака для $|R|\leq 4$ можно считать закрытой, что позволяет вычислять и изучать соответствующие цветные полиномы ХОМФЛИ для $3$-нитевых и древесных узлов.