Уточнения изопериметрического неравенства геометрии Минковского

Доказаны следующие уточнения изопериметрического неравенства $n$-мерного пространства Минковского $M^n$ ($n\geq 2$) с нормирующим телом $B$ [3]:
\begin{gather*} S^{\frac{n}{n-1}}_B(A) - (n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}} V_B(A) \geq (S^{\frac{1}{n-1}}_B(A)-\rho(nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}})^n -(n^nV_B(I))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho }(I)), \\ S^{\frac{n}{n-1}}_B(A) - (n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}} V_B(A) \geq (S^{\frac{1}{n-1}}_B(A)-\rho(nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}})^n -(n^nV_B(I_A))^{\frac{1}{n-1}}V_B(A_{-\rho }(I)) \end{gather*}
и ряд их следствий, среди которых уточнение (11) изопериметрического неравенства в $M^n$, учитывающее как особенности на границе тела $A$, так и отклонение тел $A$ и $I_A$ от гомотетичности, уточнение (13) неравенства Хадвигера из [5] в $M^n$ с учетом невырожденности $A_{-q}(I)$, обобщение (15) неравенства Вилльса из [7] на $M^n$. В приведенных неравенствах $A$ — выпуклое тело, $I$ — изопериметрикс, $I_A$ — форм-тело тела $A$ относительно $I$, $q$ — коэффициент вместимости $I$ в $A$, $\rho\in [0,q]$, $A_{-\rho}(I)$ — внутреннее тело, параллельное телу $A$ относительно $I$ на расстоянии $\rho$, $V_B(A)$ — объем тела $A$, $S_B(A)$ — площадь поверхности тела $A$ в $M^n$ [3].