Слабо связанные системы эллиптических уравнений Монжа–Ампера и задача существования двумерной поверхности в $E^{k+2}$ с данными кривизнами Киллинга–Липшица относительно $k$ нормальных полей

В $(k+2)$-мерном евклидовом пространстве рассматривается поверхность $z^i=u^i(x,y)$, $i=1,\dots,k$, которая регулярно проектируется в область $\Omega$ плоскости $x$, $y$. Вводятся естественные единичные нормали $\xi_i$ вдоль векторов $(u^i_x,u^i_y,0,\dots,0,-1,0,\dots)$, $i=1,\dots,k$, где $-1$ стоит на $(2+i)$-том месте, и кривизна Киллинга–Липшица относительно этих нормалей – $K^i (x, y)$. Решается задача построения поверхности с заданными положительными функциями $K^i (x, y)$ и заданным краем $u^i|_{\partial\Omega}=\varphi^i(\sigma)$, где $\sigma$ – параметр вдоль кривой $\partial\Omega$.