Замкнутые выпуклые поверхности в $E^3$ с заданными функциями кривизн

Доказано, что существуют регулярная замкнутая выпуклая поверхность $S$ и постоянный вектор $c$ такие, что в точке с внешней нормалью $\mathbf n$ выполняется соотношение
$$K^{-1}+H^{-\alpha}+c\mathbf n=\varphi(\mathbf n),$$
где $K$ и $H$ – гауссова и средняя кривизна $S$ в точке с нормалью $\mathbf n$, $\varphi(\mathbf n)$ – заданная на сфере регулярная функция, удовлетворяющая условию замкнутости и неравенству
$$\operatorname{inf}\varphi>\frac9{32}\biggl[1+\sqrt{1+\frac{64}9(\operatorname{sup}\varphi)^{2-\alpha}}\biggr](\operatorname{sup}\varphi)^{\alpha-1},$$
$\alpha\in(0,1]$. С точностью до параллельного переноса решение $(S,c)$ – единственное.